Abstract:
Neste trabalho, desenvolvemos uma abordagem sobre a aproximação assimptótica do fluxo de
um fluido newtoniano e incompressível no interior de um tubo fino recto com secção transversal
circular variável. Primeiramente, definimos de forma precisa a geometria do tubo fino como
um domínio fino Ω ε no espaço tridimensional, onde ε é um pequeno parâmetro relacionado
à geometria do domínio. A fronteira do nosso domínio é composta por duas partes disjuntas:
Γ εD (fronteira de Dirichlet), que representa a superfície lateral do tubo, e Γ εN (fronteira de
Neumann), que representa as extremidades do tubo. Além disso, assumimos que o fluxo é esta-
cionário. Partindo das equações de Navier-Stokes juntamente com a equação de continuidade e
assumindo que o parâmetro ε é muito pequeno, deduzimos o modelo que descreve matematica-
mente o fluxo de um fluido newtoniano e incompressível no domínio Ω ε na ausência de forças
de corpo, conhecido como o sistema estacionário de Stokes. Para descrever completamente o
nosso problema, consideramos que o fluxo é impulsionado por uma pressão externa que actua
como força de superfície nas extremidades do tubo. Especificamente, associamos ao sistema
de Stokes duas condições de fronteira: condição de tensão normal na fronteira de Neumann
(modelada como uma zona de entrada/saída onde é aplicado um gradiente de pressão como
forças de superfície) e uma condição de fronteira de Dirichlet homogénea para o campo de
velocidade na parte restante da fronteira. Dessa forma, formulamos um problema de fronteira
com condições de fronteira mistas, que é o foco principal deste estudo. Para construir a solução
aproximada deste problema, utilizamos o chamado método formal de expansão assimptótica,
que consiste em expressar a solução como uma série de potências do pequeno parâmetro ε. No
processo de implementação das etapas do método de expansão assimptótica, utilizamos diversas
ferramentas de análise matemática e da teoria clássica de equações diferenciais, como o teorema
de divergência, técnicas de resolução de equações diferenciais lineares, e teoremas de existência
e unicidade da solução para os problemas de Dirichlet e Neumann para a equação de Poisson.
Como resultado principal, obtivemos uma forma generalizada da lei de Poiseuille para o termo
de ordem zero da velocidade. Além disso, a aproximação obtida satisfaz a condição de fronteira
de Dirichlet e conserva o volume.
